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十六 清代学者整理旧学之总成绩(四)(3)


  清季承学之士,喜言西学为中国所固有,其言多牵强附会,徒长笼统嚣张之习,识者病焉。然近世矫其弊者,又曾不许人稍言会通,必欲挤祖国于未开之蛮民,谓其一无学问,然后为快。嘻!抑亦甚矣。人智不甚相远,苟积学焉,理无不可相及,顽固老辈之蔑视外国,与轻薄少年之蔑视本国,其误谬正相等。质而言之,蔽在不学而已。他勿具论,即如算术中之天元、四元,苟稍涉斯学之樊者,宁能强词斥之谓为无学问上之价值?又宁能谓此学非我所自有?清圣祖述西士之言,谓借根为“东来法”。英人伟烈亚力,与李壬叔同事译业者也,深通中国语言文字,能读古书,其所著《数学启蒙》第二卷有“开诸乘方捷法”一条,缀以按语云:“无论若干乘方,且无论带纵不带纵,俱以一法通之,故曰捷法。此法在中土为古法,在西土为新法,上下数千年,东西数万里,所造之法若合符节。信乎!此心此理同也。”夫伟力是否谰言,但用天元一试布算焉,立可决矣。竺旧之儒,必谓西法剽窃自我,如梨洲所谓“汶阳之田可复归”,诚为夸而无当。然心同理同之说,虽好自贬者亦岂能否认耶?是故如魏文魁、杨光先之流,未尝学问,徒争意气,吾辈固当引为大戒。乃若四香、茗香、壬叔诸贤,真所谓“旧学商量加邃密,新如涵养转深沈”,盖于旧学所入愈深,乃益以促其自觉之心,增其自壮之气,而完其独立发明之业,则温故不足以妨知新,抑甚明矣!而最损人神智者,实则在“随人脚跟,学人言语”,不务力学,专逐时谈之习耳。世之君子,宜何择焉?

  清代算学,顺康间仅消化西法,乾隆初仅杂释经典。其确能独立有所发明者,实自乾隆中叶后,而嘉、道、咸、同为盛。推厥所由,则皆天元、四元两术之复活有以牖之。徐文定所谓“会通以求超胜”,盖实现于百余年后矣。今刺举其发明之可纪者如下:

  一、明静庵安图之割圜密率捷法。梅玉汝《赤水遗珍》,载有西士杜德美用连比例演周径密率及求正弦、正矢之法,唯所以立法之原则秘而不宣。至汪孝婴疑其数为偶合。静庵积思三十年,创为此法与解,用连比例术,以半径为一率,设弧共分为二率:二率自乘,一率除之,得三率;以二率与三率相乘,一率除之,得四率。由是推之,三率自乘,一率除之,得五率。……虽至亿万率,胥如是。罗茗香评之曰:“西法之妙,莫捷于对数;对数之用,莫便于八线。……考对数之由来,亦起于连比例,又安知当日立八线表时,不暗用此法推算耶?”

  二、孔巽轩之三乘方以上开方捷法及割圜四例。巽轩为戴东原高弟子,研究秦李之书,精通天元。梅定九著《少广拾遗》,云三乘方以上不能为图。巽轩独抒新意,取幂积变为方根,使诸乘皆可作平方观,制《诸乘方廉隅图》,俾学者知方广稠叠所由生。又立割圜四例,其说在明氏捷法未显之先,而间与暗合,所著书名《少广正负术内外篇》六卷。

  三、李四香之《方程新术草》。因梅氏未见古《九章》,其所著《方程论》,囿于西学,致悖直除之旨,乃寻究古义,采索本根,变通简捷,以成新术。辨天元与借根之异同,梅玉汝言借根即天元,大致固不谬。四香更辨析天元之相消,有减无加,与借根方之两边加减微异。发明开方正负定律。梅氏言开方,专宗《同文算指》《西镜录》之西法,初不知立方以上无不带纵之方。故所著《少广拾遗》,立开一乘方以至开十二乘方法,枝枝节节,窒碍难通。四香读秦道古书,阐明超步退商、正负加减、借一为阳诸法,为《开方说》三卷。

  四、黎见山应南之求勾股率捷法。见山,四香弟子。此捷法乃推阐天元通分而成。任设奇偶两数,各自乘,相并为弦,相减为勾,或为股;副以两数相乘,倍之为股,或为勾。若任设大小两奇数或偶数,各自乘,则相并半之为勾,或为股,其两数相乘即为股,或为勾,所得勾股弦皆无零数。

  五、汪孝婴之发明天元一正负开方之可知不可知。四香发明正负开方定律,少广之学大明。孝婴读秦李书,知有不可知之数,乃自二乘方以下推之得九十五条。其说与四香似立异,故当时有汪李齮龁之谣,焦里堂既辨之矣。四香后读其书而为之跋,括为三例以证明之,谓:偶实同名者不可知;偶实异名而从廉正负不杂者可知;偶实异名而从廉正负相杂,其从翻而与隅同名者可知,否则不可知。又谓己所言“一答与不止一答”,与汪言之“可知不可知”,义实相通云。

  六、董方立之发明割圜连比例术。此亦因杜德美之圆径求周术语焉不详,欲更创通法,使弦矢与弧可以径求。时明静庵之密率捷法未传于世。方立覃思独创,与明氏同归而殊涂,盖以圜容十八觚之术,引申类长,求其累积,实兼差分之列衰、商功之堆垛,而会通以尽勾股之变。自谓奇偶相生,出于自然,得此术而方圆之率通云。

  七、徐君青之发明屡乘屡除的对数,对数表传自西人,云以屡次开方而得其数。君青以屡除屡乘法御之,得数巧合而省力百倍。研究测圜密率,以屡乘屡除法,递求正负诸差,而加减相并,便得所求。发明开圜求周术,椭圆求周,无法可驭。借平圜周求之,则有三术。项梅侣、戴鄂士各立一术。君青以椭周为圜周,求其经以求周,即为椭圜之周。最直捷。李壬叔谓其驾过西人远甚。发明造各表简法。君青以对数表等为用最大。惜创造之初,取径纡回,布算繁赜,不示人以简易之方,如八线对数表,至今无人知其立表之根,因读《四元玉鉴》,究心于垛积招差之法,推诸割圆诸术,无所不通。盖垛积者递加数也,招差者连比例也。合二术以施之割圜,六通四辟,而简易之法生焉。乃集杜德美、董方立、项梅侣、戴鄂士、李壬叔诸家之说而折衷之,简益求简,凡立五术。

  八、戴鄂士之发明对数简法,其术在舍开方而求假设数;复有续编,专明对数根之理。徐君青为之序,谓与李壬叔《对数探原》同为不朽之业。发明外切密率,此亦割圜率中之一种。自杜、董递启割圜之秘,项梅侣、李壬叔皆有所增益。惜杜氏有弦矢术而无切割术,李氏有其术而分母分子之源未经解释。鄂士谓弦矢与切割本可互为比例,……以比例所得之率数乘除法,乘除弧背,其求得之数,必仍为比例所得之切割。乃本此意以立术。发明假数测圆。专以负算阐对数,发前人未发之蕴。

  九、邹特夫之发明乘方捷术。此亦研究对数之书,隐括董方立、戴鄂士之说,立开方四术。其于讷白尔表,以连比例乘除法,径开一无量数乘方以求之,又立求对数较四术以求之,亦用连比例一以贯之,立术最为简易。盖以徐君青、李壬叔之术,操数各殊,唯夏紫笙略近而更为精密云。创造对数尺。因对数表而变通之为算器,画数以两尺,相并而伸缩之,使原有两数相对,而今有数即对所求数。补古格术。格术之名及其术之概略,仅见于宋沈括《梦溪笔谈》,后人读之亦莫能解。特夫知其即光学之理,更为布算以明之。以算学释物理自特夫始。

  十、李壬叔之以尖锥驭对数。壬叔以尖锥立术,既著《方圆阐幽》《弧矢启秘》二书,复为《对数探源》,亦以尖锥截积起算,先明其理,次详其法。自序云:“……有正数万,求其逐一相对之对数,则虽欧罗巴造表之人仅能得其数,未能知其理也。间尝深思得之,叹其精微玄妙,且用以造表,较西人简易万倍,然后知言数者不可不先得夫理也。”壬叔著书在早年,其后与西士共译各书,益自信,乃著《对数尖锥变法释》,谓己所用为正法,西人所用乃变法,而其根则同云。推衍垛积术。谓垛积为少广一支,西人代数微分中所有级数,大半皆是。近人唯汪孝婴、董方立颇知其理,而法数未备,因特阐明之。

  十一、顾尚之之和较相求对数八术。批评杜、董、项、戴及西人《数学启蒙》中之诸新术,以为皆未尽其理,乃别为变通,任意设数,立六术以御之,得数皆合,复立还原四术,卒乃推衍之为和较相求之八术。

  十二、夏紫笙之创曲线新术。其书名《致曲术》,曰平圆,曰椭圆,曰抛物线,曰双曲线,曰摆线,曰对数曲线,曰螺线,凡七类。皆于杜德美、项梅侣、戴鄂士、徐君青、罗密士(英人,著《代数微积拾级》者)诸术外自定新术,参互并列,法密理精,复有《致曲图解》说明之。创乘方捷术。以开各类乘方,通为摆术,可并求平方根数十位,不论益积翻积,俱为坦途,其书名《少广缒凿》。

  上所举,不过在三部《畴人传》中阮元著初编,罗士琳续,诸可宝再续临时挦撦。我之学力,本不配讨论此学,其中漏略错误,定皆不少。但即循此以观大略,已可见此学在清代发展进步之程度为何如。以李四香、汪、明、董等推算之业视王、梅;以李四香、罗、张古余等校书补草之功视钱、戴;以徐、戴鄂士、邹、李壬叔等会通发明之绩视王、梅、李四香、汪,真有“积薪后来居上”之感。其后承以第二期西学之输入——即所谓19世纪新科学者,而当时国中学者所造,与彼相校,亦未遑多让。中国人对于科学之嗜好性及理解能力,亦何遽出欧人下耶?

  吾叙述至此,惟忽有别的小感触,请附带一言。清代算学家多不寿,实吾学界一大不幸也。内中梅定九寿八十九,李壬叔寿七十,二老岿然绾一代终始,差足慰情。自余若焦里堂仅五十八,戴鄂士仅五十六,王寅旭、戴东原皆仅五十五;邹特夫仅五十一,邹叔绩仅四十九,马远林仅四十八,汪孝婴仅四十六,李四香、夏紫笙皆仅四十五。尤促者,熊韬之仅三十九,孔巽轩仅三十五,董方立仅三十三,左壬叟、曾栗卒年未详,大抵皆不逾四十。呜呼!岂兹事耗精太甚,易损天年耶?何见夺之速且多也。夫使巽轩、方立辈有定九寿,则所以嘉惠学界者宜何如哉?吾又感觉算学颇恃天才,故有早岁便能成家者。又洪杨之乱,学者多殉,而算家尤众。徐君青以封疆江苏巡抚死绥,固宜矣。乃若罗茗香、马远林、邹叔绩、戴鄂士、顾尚之、凌厚堂堃、张南坪福禧,皆先后及难。其余诸家遗著投灰烬者且不少。呜呼!丧乱之为文化厄,有如是也。


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